Question

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为3π/4

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为3π/4的直线，交抛物线于A、B两点，求证|AB|=4p

Answer 1

设A(x1,y1)，B（x2，y2）。过A、B分别作准线的垂线，交准线于点C，D。
∵过F（p/2，0）的的直线的斜率为-1，
∴该直线方程：y=-x+p/2，代入y^2=2px，
整理得：x^2-3px+(p^2/4)=0,
由韦达定理x1+x2=3p.
∵|AF|=x1+p/2，|FB|=x2+p/2（抛物线定义）
∴|AB|=|AF|+|FB|=（x1+p/2）+（x2+p/2）
=x1+x2+p=3p+p=4p。证毕

说明：
1、也可以用一般的弦长公式√(1+k^2)|x1-x2|来求。本题考虑到是“交点弦”，故采用了|AB|=|AF|+|FB|的转化，简化了计算过程。

2、记住几个弦长公式如楼上 ygq23266836介绍的，对做选择、填空题很有帮助。

Answer 2

y^2=2px,(p>0),
则焦点F的坐标为(p/2,0),
直线AB的方程为Y=-(X-P/2),
令,A,B两点的坐标分别为A(X1,Y1),B(X2,Y2).
Y^2=2PX,
Y=-(X-P/2),则有
X^2-3PX+P^2/4=0.
X1+X2=3P,
X1*X2=P^2/4.
而,(X2-X1)^2=(X1+X2)^2-4X1*X2=9P^2-4*P^2/4=8P^2.
又因为K=(Y2-Y1)/(X2-X1)=-1,两边平方得,
(Y2-Y1)^2=(X2-X1)^2=8P^2.

|AB|=√[(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2]=√[2*8P^2]=4P.

Answer 3

恩 有一般的结论 过抛物线y^2=2px（p>0)的焦点F做倾斜角为α的直线与抛物线交于A,B两点，求证：｜AB｜=2p/(sinα)^2

http://zhidao.baidu.com/question/86062220.html