Question

已知椭圆X^2/4+Y^2=1，设过原点的直线AB交于椭圆C上于A、B，定点M的坐标为（1，1/2）

“已知椭圆X^2/4+Y^2=1，设过原点的直线AB交于椭圆C上于A、B，定点M的坐标为（1，1/2），试求三角形MAB的最大值，并求此时直线AB的斜率。”

Answer 1

AB:y=kx
kx-y=0
点M(1,1/2)到AB的距离:
h=|k-1/2|/√(1+k^2)
x^2/4+y^2=1
x^2+4y^2=4
x^2+4(kx)^2=4
(1+4k^2)x^2=4
x=± 2/√(1+4k^2)
|xA-xB|=4/√(1+4k^2)
|yA-yB|=|k*(xA-xB)|
AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=(1+k^2)[4/√(1+4k^2)]^2=16(1+k^2)/(1+4k^2)
|AB|=4√[(1+k^2)/(1+4k^2)]
S△MAB=AB*h/2=4√[(1+k^2)/(1+4k^2)]*[|k-1/2|/√(1+k^2)]/2=m
4(1-m^2)k^2-4k+1-m^2=0
4^2-4*4(1-m^2)*(1-m^2)≥0
(1-m^2)^2≤1
m≥0
0≤m^2≤2
0≤m≤√2
三角形MAB的最大值=√2
4(1-m^2)k^2-4k+1-m^2=0
4(1-2)k^2-4k+1-2=0
k=-1/2

Answer 2

只给思路
连接MO，MO的方程可求出来y=x/2，MO的长度可以根据两点距离求出来
MAB=AOM+BOM
根据题意，此时的A、B关于原点对称，可以设A为（a，b）、B为（-a,-b）
根据点到直线的距离公示，可以求出A、B到直线MO的距离Ha、Hb
MAB=AOM+BOM==(MO*Ha+MO*Ha)/2=MO*(Ha+Hb)/2
再加上限制条件a^2/4+b^2=1
就可以求最大值了