Question

求解书上的一道 线性代数 证明题

设向量组A与向量组B的秩相等，且A组能由B组线性表示，证明A组与B组等价。

大学时没认真学，想在自己看书，迷迷糊糊的。

Answer 1

用替换定理容易证明。
设秩为r，找A的一个极大无关组a1,a2,...,ar，记B为b1,b2,...,bs，则由已知a1,a2,...,ar能被B线性表出，由替换定理，对B的向量适当编号使得C=a1,a2,...,ar,b(r+1),...,bs与B等价。a1,a2,...,ar线形无关且C秩为r所以a1,a2,...,ar是C的一个极大无关组，所以a1,a2,...,ar与C等价，所以a1,a2,...,ar和B等价，也就是B能被a1,a2,...,ar线性表示。从而可知A与B等价。

其实这个用生成子空间最简单，由于A能被B表出，L(A)≤L(B)，而秩相等所以维数相等，所以L(A)=L(B)，所以AB等价。