Question

数列极限定义中的问题?

当n趋向于无穷大时Xn=α,存在有一个正整数N(ε),当n>N(ε)时,恒有|Xn-α|<ε.

为什么一定要有一个条件:存在有一个正整数N(ε).且为什么不能是存在一个正数?

Answer 1

因为数列是以正整数为自变量的函数,说的通俗点,就是数列Xn中这个下标n是只能是正整数,所以是一个正整数,而不能是一个正数

为什么一定要有个条件````````

实际上这个定义的意思就是:在数列中总能找到一项(包括它后面的所有的项)使得|Xn-a|<ε成立,那么a就称为数列Xn的极限

比如:1/2,1/3,1/4,1/5`````````````````这个数列的极限是0,也就是说,无论你给出一个多么小的正数,都能找到一项(包括它后面的所有的项)使这一项减0的绝对值要小于它.
比如说给出一个正数1\100000,那么就存在正整数N如:100001(不止一个),当n>100001时,不等式成立,

比如说给出一个更小的正数1/10000000000000000000,那么还是存在正整数如1000000000000000000000000000005,使得当n>100000000000000000000000000005时,不等式成立

所以这个数列的极限是0

Answer 2

N(ε)的数学意义是n的某一个取值,即是n个数列中的某一项的次序,所以当然必须是正整数了,且这个正整数必须与ε的取值有关.ε的数学意义就是一个极限的精度, 越小精度越高,对于一个数列极限,若第k项时的精度为比ε大的一个数,比如2ε,那么对于ε的精度要求是不够的,所以必须k再继续加大,往后越来越逼近真值,但对于ε的精度,不必无限次的逼近,所以可以存在一个有限逼近次数,即到第N(ε)项时正好可以满足ε的精度要求.

Answer 3

这个N是任意取的。。但n>N时就表明n是一个任意的比N大的一个正整数，也只有这样才能够即符合数列中n是一个整数，也能保证n是一个任意取的数

Answer 4

因为这里的n必须是正整数啊