Question

比较log(2)3＜注：以2为底3的对数＞与log(3)4的大小。

以2为底3的对数 比1小么？
还是 以3为底4的对数 比1小？

Answer 1

解：
log(2)3=lg3/lg2
log(3)4=lg4/lg3
log(2)3-log(3)4=lg3/lg2-lg4/lg3=[(lg3)^2-lg2lg4]/(lg2lg3)
因为分母lg2lg3大于0.因此只要比较分子的正负就可以判断二个数的大小

又根据基本不等式,简单推导如下：
若a,b是正数，则
[(a+b)/2]^2-ab=(a^2+2ab+b^2)/4-ab=[(a-b)/2]^2≥0
所以[(a+b)/2]^2≥ab,也就是ab≤[(a+b)/2]^2

在本题中的应用是
lg2lg4≤[(lg2+lg4)/2]^2
所以
(lg3)^2-lg2lg4
≥(lg3)^2-[(lg2+lg4)/2]^2
=(lg3)^2-(lg8/2)^2
=(lg3)^2-(lg√8)^2 >0
∴log(2)3-log(3)4>0
∴log(2)3>log(3)4

Answer 2

跟log3,3比，一个比她大，一个比他小……