Question

高一数学题，急！！

（1）设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60度,c=3b，求：
①a/c的值
⑹(1/tanB)+(1/tanC)的值

(2)已知函数f(x)=log2(x+m) 2为指数，且f(0),f(2),f(6)成等差数列，若a,b,c是两两不相等的正数，且a,b,c成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明。
要有一定的过程，好的话适当追加分

Answer 1

(1)①用余弦定理。（下用#表示根号）
cosA=cos60°=1/2=(b^2+c^2-a^2)/2bc
带入c=3b得b=a/#7,所以c=3a/#7,所以a/c=#7/3.
②用正弦定理：
原始=cotB+cotC=（通分）(sinBcosC+sinCcosB)/sinBsinC
=sinA/sinBsinC=a/bc=#7/3
(2)由“f(0),f(2),f(6)成等差数列”知m=2（带入后进行对数运算），
所以f(x)=log2(x+2),则f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2(ac+a+c+4)
=log2(b^2+2a+2c+4)
2f(b)=2log(b+2)=log(b+2)^2=log(b^2+4b+4)
比较知只需比较a+c和2b大小即可。
由均值不等式知（ac为正数）：a+c大于等于2#ac=2#b^2=(b为正数）2b,且abc不相等，故等号不成立所以a+c>b^2,
综上f(a)+f(c)>2f(b).

2分钟就算完了，打字打得我好累，没数学符号。。。。

Answer 2

cosA=(b^2+c^2-a^2)/ 2bc=1/2 得a^2/c^2=7/9 所以a/c=√7/3
因为S三角形ABC面积=1/2bcsinA=√3*c^2/12=1/2acsinB=√7/6c^2sinB
所以sinB=√21/14 cosB=5√7/14 tanB=√3/5
同理，tanC=3√3
(1/tanB)+(1/tanC)=16√3/9

由“f(0),f(2),f(6)成等差数列”知m=2
所以f(x)=log2(x+2),则f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2(ac+a+c+4)
=log2(b^2+2a+2c+4)
2f(b)=2log(b+2)=log(b+2)^2=log(b^2+4b+4)
只需比较a+c和2b大小即可。
由均值不等式知（ac为正数）：a+c大于等于2√ac=2√b^2=2b,且abc不相等，故等号不成立所以a+c>b^2,
综上f(a)+f(c)>2f(b).

Answer 3

简单 用正弦定理