Question

关于数学期望的问题

《百事世界杯之旅》：
“……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可以参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获取球星背包、随身听，更可以赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！……”
你关上电视，心想：假设有n个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？

谁能给出一个通式？（带sigma、pi都可以）

提示：
n=2, x=3;
n=3, x=5 1/2;(五又二分之一，下同）
n=4, x=8 1/3;
n=5, x=11 5/12;
n=6, x=14 7/10;
n=7, x=18 3/20;
n=8, x=21 26/35;
n=9, x=25 129/280;
n=10, x=29 73/252;
n=11, x=33 551/2520;
... ...
x为凑齐所有的名字平均需要买的瓶盖数。

Answer 1

设f(k)表示我们收集了k名成员仍需要购买才能买齐的瓶数，明显的有f(n)=0，我们要求的就是f(0)。
那么我们考虑在f(k)的基础上再买一瓶，如果买到了我得到过的球星，概率为k/n，这样我们还需要再买f(k)，如果我们买到了没有买过的球星，概率为(n-k)/k，这样我们就只要买f(k+1)瓶了。
所以我们就得到了公式f(k)-1=f(k)*k/n+f(k+1)/n （f(k)-1的意义：因为f(k)表示的是还要再开多少，所以我再开一个事实上是给这个数值减少1）
整理一下，f(k)=f(k+1)+n/(n-k)
所以f(0)=∑(i=0...n-1)n/(n-k)+f(n)

因为f(n)=0，所以f(0)=∑(i=0...n-1)n/(n-k)=(n/n+n/(n-1)+...+n/2+n/1)=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)
Ans=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)。

Answer 2

n*(1/1+1/2+…+1/n)