Question

如图1，在△ABC中,AE平分∠BAC,∠C>∠B,F为AE上的一点,且FD⊥BC于D点。

（1）试探究∠EFD、∠B与∠C的关系；
（2）当点F在AE的延长线上时，如图2，其余条件都不变，你在题（1）中探究的结论还成立吗？并说明理由。

Answer 1

（1）先看在三角形EFD中： ∠EFD=90-∠FED
（一个外角等于不相邻的两个内角的和)
所以∠FED=-∠B+∠BAE
带进上式得：∠EFD=90°-∠B+∠BAE
在大三角形ABC中，∠BAE=180°-∠B-∠C除以2（因为AE是角分线）
把它带入上面得：∠EFD=90°-∠B+（180°-∠B-∠C除以2）
整理后得：∠EFD=∠C-∠B除以2
这个时候∠DEF和∠AEC是对顶角，所以相等。
∠EFD=90°-∠AEC
∠AEC=180°-∠C-∠EAC 带入后得：∠EFD=90°-（180°-∠C-∠EAC）
∠EAC和上问一样的等于180°-∠B-∠C除以2（因为AE是角分线）
带进上面后原式得：
∠EFD=90°-{180°-∠C-（180°-∠B-∠C除以2）}
（这个题主要是把要证明的三个角放在一个式子里）
整理得：∠EFD=3C-B除以2
所以第一问的结论不成立。

Answer 2

（1）先看在三角形EFD中： ∠EFD=90-∠FED
（一个外角等于不相邻的两个内角的和)
所以∠FED=-∠B+∠BAE
带进上式得：∠EFD=90°-∠B+∠BAE
在大三角形ABC中，∠BAE=180°-∠B-∠C除以2（因为AE是角分线）
把它带入上面得：∠EFD=90°-∠B+（180°-∠B-∠C除以2）
整理后得：∠EFD=∠C-∠B除以2
（这就是他们的关系）

(2)和第一问的做法几乎相同。
这个时候∠DEF和∠AEC是对顶角，所以相等。
∠EFD=90°-∠AEC
∠AEC=180°-∠C-∠EAC 带入后得：∠EFD=90°-（180°-∠C-∠EAC）
∠EAC和上问一样的等于180°-∠B-∠C除以2（因为AE是角分线）
带进上面后原式得：
∠EFD=90°-{180°-∠C-（180°-∠B-∠C除以2）}
（这个题主要是把要证明的三个角放在一个式子里）
整理得：∠EFD=3C-B除以2
所以第一问的结论不成立。