Question

皮亚诺余型项的泰勒公式的一道习题的疑惑

题目是求√(1+x)*cosx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式（cosx在根号外面）
题目的答案是 √（1+x）=1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 + o（x^3）
cosx =1 - x^2/2 + o（x^3）
（根据公式可求得）
然后把这两项展开式相乘 得到答案是
=1 + x/2 - 5x^2/8 - 3x^3/16 + o（x^3）

我的疑问是 cosx的三阶泰勒公式展开为什么是cosx =1 - x^2/2 + o（x^3） 三阶指的是三阶导数还是x的三次方？ 如果是三阶导数那这个式子才写到二阶导啊 如果是x的三次方 那这个式子里也没x的三次方啊 如果是按公式里Rn（x）中的n来确定的话这个也许说的通 但是举个例子 sinx的泰勒公式结尾的余项为R2n（x）那它的5阶泰勒公式就不能按Rn（x）来确定啊 那它的五阶泰勒公式又是什么呢？ 这个让我很不明白 到底这个三阶泰勒公式的三阶应该怎么理解 怎么来确定！

第二个疑惑是 回到题目 答案是两项展开式的乘积 但是显然乘积中应该包含x的五次方和x的四次方项 为什么在答案中却没有看到？

请数学高人来帮帮忙来解答一下晚辈的疑惑 谢谢！！！急！！！（谢绝复制资料和不懂乱说 答案好加分！）

Answer 1

3阶就是最多出现到3次方
但是你注意，cosx展开式里只出现偶次方项！或者说奇次方项系数为0
你可以认为那个3次方出现了，不过系数是0，你没看到而已

第二个问题，四次方和五次方项是比三阶要高的，也就是相对于三阶项是无穷小量，所以已经包含在o（x^3）里了
没必要写出，毕竟题目只要求写到三阶展开式

所以这里是省略了，没必要算出来

Answer 2

貌似你现在只学到泰勒公式，是高数的上册吧？
你学到后面的“无穷级数”就知道了，什么余项的并不重要，重要的是前面的展开式部分。
就本题而言：任意一个连续可导的函数，都可以写成一个多项式的形式，只不过这个多项式的项数可能是无穷罢了。所谓三阶就是取出这个多项式中次数要小于等于3，而大于3的就用余项o（x^3）表示。
就这个cos的问题：其实cos x=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-(1/6!)x^6+...
这就是把cos函数展开成了多项式，（项数为无穷）。它的3阶展开式就看这个多项式中次数小于等于3的项：1 - x^2/2，再把次数高于3的项用o（x^3）表示就行了。
第二个疑惑：
题目要我们把整个函数展开成3阶，所以最后答案中只能出现到x^3，高于x^3的项一律用0(x^3)表示，你说乘开应该有4，5次方，这是不错，但我们把它们一起归入0(x^3)里面了。这样才是3阶展开式。

Answer 3

cosx的三阶泰勒公式之所以是cosx =1 - x^2/2 + o（x^3）
是因为x^3相的系数为零，所以就没这项了啊。

Answer 4

cosx =1 - x^2/2 + x^4/16+…=1 - x^2/2 + o（x^3）