Question

无穷级数,极限:

用观察法判断数列是否收敛:yn:1,3/2,1/3,5/4,1/5,7/6,......;
比较无穷小量的阶:当x→0时a=x,β=x^2sin1/x;
用极限的定义证明极限:limx→∞1/√n=o;
求极限:limx→-2(3x^2-4x+5);
limx→3x^2-9/x-3

Answer 1

1.不收敛，因为很多项之后，总是有一项在1附近，接下来一项在0附近，是震荡的。
2.lim x→0 β/a=lim(x→0) x sin1/x
由于sin1/x有界，所以原式＝0
所以β是a的高阶无穷小。
3.对任意小的整数e,求解方程1/√n<e,得：n>1/e^2
所以，取N＝1/e^2，则当n>N时总有|1/√n－0|<e,所以原极限为0
4.limx→-2(3x^2-4x+5)=3*4+4*2+5=25
limx→3 x^2-9/x-3=9-9/3-3=3

Answer 2

1.不收敛
4.1.将x=-2代入所求式子3x^2-4x+5=25
（由于此二次函数为区间内的连续函数，所以可将值直接代入）

2.将x^2-9因式分解得到(x-3)(x+3)与分母x-3约掉
原式=limx→3（x+3）=6
（切记当把x值代入时分母不能为0！！！）