Question

关于周长的定积分和面积的关系

我们知道,圆的周长2兀r在0到r的闭区间上定积分就是圆的面积兀r的平方
但为什么对于正方形,周长4x在0到x的区间上的定积分不是面积,即x的平方?

Answer 1

圆周长与半径微小变化的乘积是，恰好是微圆环的面积，即2πrdr是微小面积，在整个半径上积分就是面积。
对于正方形，应该是两个方向上的变化才行，也就是双重定积分。
如果用周长积分，你会发现，这里面有相重合的地方，所以实际上，最终的积分是正方形面积的2倍。你可以想象，一个边长把一部分面积计算了，而你在计算与他相邻的边长时，在线段末端会有重复计算的面积，四个角都有这样的现象，如果用双重积分就不会存在重复计算面积的现象。在圆上，由于只有一个方向的变化，不可能存在重复计入的问题。
最终，对于圆和正方形的面积的积分计算，所使用的坐标系是不同。