Question

1至1000中所有不能被5、6、8整除的自然数有多少个？（ ）

A. 491 B. 107 C. 400 D. 600

答案:5的倍数有5、10……1000共200个
6的倍数有6、12……996共166个
8的倍数有8、16……共125个
24的倍数有24、48……984共41个
30的倍数有30、60……990共33个
40的倍数有40、80……1000共25个
120的倍数有120、240……960共8个
根据容斥原理可知，5或6或8的倍数有
（200+166+125）-（33+25+41）+8＝400（个）
不能被5或6或8中任一个整除的有1000-400＝600（个）
故本题选D。
不明白为什么要加8,而不是减8??
这个明白了,那可以告诉我怎么才能知道要算24的倍数,就是24和谁有关系 ,怎么就能想出这些数,怎么就能想出多减了谁?

Answer 1

用A表示能被5整除集合,用B表示能被6整除集合,用C表示能被8整除集合,∣A∣表示集合A的元素个数等等,则有∣A∣=200,∣B∣=166,∣C∣=125,∣A∩B∣=33,∣B∩C∣=41,∣,∣C∩A∣=25,利用容斥原理得
∣A UB UC∣
=∣A∣+∣B∣+∣C∣-（∣A∩B∣+∣B∩C∣+∣C∩A∣）+∣A∩B∩C∣
=(200+166+125)-(33+41+25)+8＝400（个）
当计算∣A∣+∣B∣+∣C∣时,属于A∩B,B∩C,C∩A的元算了两次,故应减去1次,但减去∣A∩B∣+∣B∩C∣+∣C∩A∣时,却将属于A∩B∩C的元减了两次,故应再加上1次.看图.图发不出去.

Answer 2

－（33＋25＋41）这部分其实是减多了的 , 120的倍数，被重复减掉了。

所以 在后面 要＋8，补回来。

Answer 3

120