Question

数学高手请进——很难的初三数学几何证明题

在三角形ABC中，三条高AD,BE,CF相交于点P，点M是CP的中点，点N是AB的中点，求证：MN垂直于DE。

Answer 1

因为ABD为直角三角形，N为斜边中点，所以DN=1/2AB,
同理，EN=1/2AB,
所以DN=EN,即N在DE的中垂线上。
在直角三角形PDC和直角三角形PEC中，因为M为PC中点，所以DM=EM=1/2PC,即M在DE的中垂线上
故MN垂直平分DE

Answer 2

很简单，AEDB四点共圆，N是圆心 

EPDC共圆，M是圆心，两个圆公共弦是ED，根据相交两圆公共弦垂直于连心线，得证。

Answer 3

比较简单的办法就是你把三角形特殊化为等边三角形,这样就很容易证明出来N点与P点重合,这样你就可以很容易得到 CP垂直DE 也就是MN垂直DE