Question

高等数学的问题！！！

如果二元函数再某一点P沿任意方向的方向导数存在是否可以推断出函数在P点的偏导数连续？可以的话为什么？不可以的话为什么？
如果二元函数再某一点P可微是否可以推断出函数在P点的偏导数连续？
可以的话为什么？不可以的话为什么？
请讲的详细详细详细到一岁小孩都可以理解 谢谢了！！
一楼说的是一元函数我说的是二元函数。

Answer 1

回答第一问:

1. 定理: 若函数f在点P可微,则f在点P处沿任一方向的方向导数都存在,...
-----以上摘自<<数学分析 第三版 下册>>华东师范大学数学系编 高等教育出版社 page125

2.下面图(貌似知道的贴图新功能不清晰?下面给图的地址)中的函数证明了: "函数f在点P可微" 不一定能推出 "函数在P点的偏导数连续".
-----以上摘自<<数学分析 第三版 下册>>华东师范大学数学系编 高等教育出版社 page112

3.现在假设 "二元函数在某一点P沿任意方向的方向导数存在 可以推断出: 函数在P点的偏导数连续" 是成立的,那么由这个条件以及第1点

可得到: "若函数f在点P可微,则f在点P处沿任一方向的方向导数都存在,则函数在P点的偏导数连续"即"函数f在点P可微" 一定能推出 "函

数在P点的偏导数连续" ,这就与第2点矛盾.因此二元函数在某一点P沿任意方向的方向导数存在 不能推断出: 函数在P点的偏导数连

续

回答第二问:
由上面上面第2点已经知道,"函数f在点P可微" 不一定能推出 "函数在P点的偏导数连续".

以上第一问比较麻烦,第二问其实很好理解.f在p可微可推出f在p的偏导数存在,但是要说偏导数(偏导函数)在p连续呢,那当然不知道了,因

为连续性必须是考察U(p)的,而现在只知道f在p的偏导数存在,而f在U(p)是否存在偏导都不知道.

...幸好数学分析那两本书上的尘还不是太多...应该是"数学分析的问题！！！"吧?高数我没看过,估计没有...我的回答应该是一岁小孩都能理解吧?

Answer 2

两个问题的答案都是否，都存在反例。下面是我给出的反例，你可以自己验证一下，并不困难。

Answer 3

先解决第二个问题：
首先可微的定义中就是存在X Y方向的偏导数
根据 定理1（可微的必要条件）：
若函数z=f(x,y）在点P可微，则
（1） 函数在点P连续
（2） 函数在P点可偏导
所以可微可以推断出函数在P点的偏导数连续

再来第一个问题：
在某一点P沿任意方向的方向导数存在，则不可以保证其偏导数连续:
你想嘛 这个导数只是存在而已 又不一定连续
比如P点是一个间断点 他也存在各方向的导数 可偏导数步连续呀！

Answer 4

第一个问题，LZ这样理解嘛，在P点任意方向导数存在的话，相当于一元函数的在一点导数存在，是不能得出导数连续的。对于二元函数，偏导数连续通俗的来讲就需要函数在某一点的左右极小范围内都存在偏导。条件只是给出了一个点，并没有包含这个小范围。
第二个问题楼上的已经讲的很清楚了，我也没有必要解释了

Answer 5

偏导数指的是沿某一方向的导数
比如说沿x方向的导数存在了，但是导数不一定连续啊，如果是一个导数可去的点呢？是不是导数就不连续了？
举例1/（x^2+y^2）各方向的偏导数存在 ，但是偏导不连续
微分的定义极半径p趋向于零说明从各个方向是光滑的，也就是说如果可微，偏导数就一定存在，但是不一定连续
例如z=xysin(1/根号下x^2+y^2)[x^2+y^2不等于零的时候]z=0[x^2+y^2=0的时候]