Question

若三角形ABC中,三边长分别为abc,且满足a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc则它是什么形状的三角形

Answer 1

解：因为a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
所以a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
左边=1/2（2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc）
=1/2（a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2）
=1/2（a-b）^2（a-c）^2（b-c）^2
所以1/2（a-b）^2（a-c）^2（b-c）^2=0
因为（a-b）^2≥0，（a-c）^2≥0，（b-c）^2≥0
所以a-b=0，b-c=0，a-c=0
所以a=b=c
所以它是等边三角形

Answer 2

等边三角形
a^2+b^2≥2ab -------1
b^2+c^2≥2bc -------2
a^2+c^2≥2ac -------3
1+2+3,2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+ac+bc)
故a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc

当且仅当a=b=c时 取“=”号

Answer 3

a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc,
2(a^2+b^2+c^2)=2(ab+ac+bc),
2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0,
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0,
a-b=b-c=a-c=0,
a=b=c

等边三角形