Question

求助：初中数学题

①设S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/1²+1/2²+1/3²）^½+……+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½，则与S最接近的整数是（）
A.2000 B.2001 C.2002 D.2003

②设a为（3+√5）^½-（3-√5）^½的小数部分，
b为（6+3√3）^½-（6-3√3）^½的小数部分，则2/b-1/a的值为
A.√6-√2+1 B.√6+√2-1 C.√6-√2-1 D.√6+√2+1

③满足0＜x＜y，及√1008=√x+√y的不同整数对，则（x，y）的个数是（）个。

④化简S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).

⑤试求不超过（√3+√2）^6的最大整数。

说明：√是根号，^(1/3)是3次根号，^后面的数代表指数.因为输入法限制，指数输入五花八门，希望您能看懂。

答题最好有说明或过程。
不好意思，第1题 没抄对,应该为
①设S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1++1/2²+1/3²）^½+……+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½，则与S最接近的整数是（）
A.2000 B.2001 C.2002 D.2003

Answer 1

①设S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+……+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½，则与S最接近的整数是（）
A.2000 B.2001 C.2002 D.2003
解：1+1/(n-1)²+1/n²
=[n² (n-1) ²+n²+(n-1) ²]/[ n² (n-1) ²]
=[n² (n-1) ²+2n²-2n+1]/[ n² (n-1) ²]
=[n² (n-1) ²+2n(n-1)+1]/[ n² (n-1) ²]
=(n²-n+1) ² /[ (n²-n) ²]
故：[1+1/(n-1)²+1/n²]^½=(n²-n+1)/ (n²-n)=1+1/(n²-n)= 1+1/[n(n-1)]=1+1/(n-1)-1/n
故：S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+…+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½
=(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+(1+1/3-1/4)+…+(1+1/2000-1/2001)+(1+1/2001-1/2002)
=2002-1/2002
故：选C

②设a为（3+√5）^½-（3-√5）^½的小数部分， b为（6+3√3）^½-（6-3√3）^½的小数部分，则2/b-1/a的值为 A.√6-√2+1 B.√6+√2-1 C.√6-√2-1 D.√6+√2+1
解：3+√5=(12+4√5)/4=[(√10) ²+2√10•√2+(√2) ²]/4=(√10+√2) ²/4
故：（3+√5）^½=(√10+√2)/2
3-√5=(12-4√5)/4=[(√10) ²-2√10•√2+(√2) ²]/4=(√10-√2) ²/4
故：（3-√5）^½=(√10-√2)/2
故：（3+√5）^½-（3-√5）^½＝(√10+√2)/2－(√10-√2)/2＝√2
故：a=√2-1
又：6+3√3=(24+12√3)/4=[(√18) ²+2√18•√6+(√6) ²]/4=(√18+√6) ²/4
故：（6+3√3）^½==(√18+√6) /2
6-3√3=(24-12√3)/4=[(√18) ²-2√18•√6+(√6) ²]/4=(√18-√6) ²/4
故：（6-3√3）^½=(√18-√6) /2
故：（6+3√3）^½-（6-3√3）^½＝√6
故：b=√6-2
故：2/b-1/a=2/（√6-2）-1/(√2-1)
=2(√6+2)/[(√6-2)( √6+2)]- (√2+1)/[(√2-1) (√2+1)]
=(√6+2)- (√2+1)
=√6-√2+1
故：选A

③满足0＜x＜y，及√1008=√x+√y的不同整数对，则（x，y）的个数是（）个。
解：因为√1008＝12√7＝√7＋11√7＝2√7＋10√7＝3√7＋9√7＝4√7＋8√7＝5√7＋7√7
又0＜x＜y，故：x=7时，y=847；x=28时，y=700；x=63时，y=567；x=112时，y=448；x=175时，y=343；
故：（x，y）的个数是（5）个

④化简S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).
解：因为（2+√5）(2-√5）＝－1，（2+√5）＋(2-√5）＝4，
令2+√5=x，则：2-√5=-1/x，x-1/x=4
故：S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).=x^(1/3)-1/x^(1/3)
故：S ³=[ x^(1/3)-1/x^(1/3)] ³=x-3• x^(1/3)+ 3/x^(1/3)-1/x
=x-1/x-3[x^(1/3)-1/x^(1/3)]=4-3S
故：S ³+3S-4=0
S ³-S+4S-4=0
S(S+1)(S-1)+4(S-1)=0
(S-1)(S²+S+4)=0
因为S²+S+4＞0，故：S＝1

⑤试求不超过（√3+√2）^6的最大整数。
解：因为（√3+√2）（√3-√2）＝1
故设x=（√3+√2）^6=(5+2√6) ³,则：1/x=（√3-√2）^6 =(5-2√6) ³
x+1/x=（√3+√2）^6+（√3-√2）^6 =(5+2√6) ³+(5-2√6) ³
=[(5+2√6)+(5-2√6)][(5+2√6) ²-(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6) ²] =970
x-1/x=（√3+√2）^6-（√3-√2）^6 =(5+2√6) ³-(5-2√6) ³
=[(5+2√6)-(5-2√6)][(5+2√6) ²+(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6) ²] =396√6
故：x=485+198√6≈969.99
故：不超过（√3+√2）^6的最大整数是969
或：x=（√3+√2）^6=(5+2√6) ³＞1，则：0＜1/x＜1
故：969＜x=970-1/x＜970
故：不超过（√3+√2）^6的最大整数是969

Answer 2

1 2＋5＋76 2 73—85＋124＋89 3 567＋987※67—61 4 7778＋12－795×43 5 3456+56×54※84

Answer 3

1、
Sn>2002*(1+1/1+1/2^2)^(1/2)=2002*(9/4)^1/2=2002*3/2=3003
与2003最接近。选D。

2、
[3+√5）^½-（3-√5）^½]^2=6-2*2=2
a=√2的小数部分。
a+1=√2 a=√2-1
[6+3√3）^½-（6-3√3）^½]^2=12-2*3=6
b=√6的小数部分。
b+2=√6 b=√6-2
2/b-1/a=2(√6+2)/2-√2-1=√6-√2+1
选A

3、
√1008=12√7
0<x<y
x y
1 11
2 10
3 9
4 8
5 7
共5组。
填5

2+√5+2-√5=4
= [(2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3)][(2+√5）^(2/3)+1+ (2-√5）^(2/3)]
=[(2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3)]{[(2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3)]^2+3}
令[(2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3)]=A
则4=A*(A^2+3)
A^3+3A-3-1=0
(A-1)(A^2+A+1)+3(A-1)=0
(A-1)(A^2+A+1+3)=0
A=1
结果是1

5.
设y=（√3+√2）^6,1/y=（√3-√2）^6
y+1/y=（√3+√2）^6+（√3-√2）^6
=(5+2√6)^3+(5-2√6)^3
=[(5+2√6)+(5-2√6)][(5+2√6)^2-(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6)^2]
=970
y>1 0<1/y<1
结果=970-1/y
969<970-1/y<970
不超过（√3+√2）^6的最大整数为969

Answer 4

2.设y=（3+√5）^½-（3-√5）^½,则y^2=2,a=√2-1.同理b=√6-2.故2/b-1/a=√6-√2+1
3.√1008=12√7=√7+11√7=2√7+10√7=…=5√7+7√7，（x，y）的个数共5个
4.应用公式(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)则S^3=4+3*(-1)*S，即S^3+3S-4=0,(S^3-S)+(4S-4)=0,(S-1)(S^2+S+4)=0,故S=1
5.设y=（√3+√2）^6,1/y=（√3-√2）^6,y+1/y=（√3+√2）^6+（√3-√2）^6=(5+2√6)^3+(5-2√6)^3=[(5+2√6)+(5-2√6)][(5+2√6)^2-(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6)^2](立方和公式)=970,而y>1,1/y<1,故为不超过（√3+√2）^6的最大整数为969
第1题 没抄对吧