Question

高中数列题目 自认为很难

我做出来了 但方法很繁琐 希望有高手来简单方法 详细的
｛An}和｛Bn}满足 Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)÷（1+2+3+4+...+n)
(1)求证若｛Bn}为等差数列则｛An}为等差数列
（2） （1）的逆命题也成立
此题为某省著名原创题 闲杂人等 别看哈
谁有我满意的答案我给他100分 别势利眼哈 3楼的中间出错了

Answer 1

证明：
｛Bn}为等差数列
不妨设：Bn=B1+(n-1)d
由题意：
Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)
(1+2+3+4+...+n) Bn=a1+2a2+…+nan
(1+2+3+4+...+n+n+1)B(n+1)
=a1+2a2+…+nan+(n+1)a(n+1) ,相减得：
(1+2+3+4+...+n)d+(n+1)B(n+1)=(n+1)a(n+1)
nd/2+B(n+1)=a(n+1)=nd/2+B1+nd
∴a(n+1)=B1+3n/2*d
an=B1+3d*(n-1)/2 ,为等差数列。

（2）也很简单：
｛An}为等差数列
设：An=A1+b
(1+2+…+n)a(n+1)-(a1+2a2+…+nan)
=nb+2(n-1)b+3(n-2)d+…+nb
=b[n*1+(n-1)*2+…+1*n]
=b[(n+2n+…+n*n)-(1*2+2*3+…+(n-1)*n]
=b[(n^3+n^2)/2-(2n^3-3n^2+n)/6-(n^2-n)/2]
=bn(n+1)(n+2)/6 ，①

Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)

B(n+1)=(1+2+3+4+...+n)/(1+2+3+4+...+n+n+1)
[(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)]
+(n+1)a(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)

相减得：B(n+1)-Bn
=-(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)[(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)]
+(n+1)a(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)
=(n+1)/(1+2+3+4+...+n+n+1)
*[(1+2+3+4+...+n)a(n+1)-(a1+2a2+…+nan)]/（1+2+3+4+...+n） ,(把①代入)
=4(n+1)/[(n+2)*(n+1)^2*n] *b n(n+1)(n+2)/6
=2b/3
B(n+1)-Bn为常数。
｛Bn}为等差数列。

现在用阿贝尔变换给出第二问更简单的方法。

证明：不妨设An的前n项和，Sn=a*n^2+bn
Bn=(a1+2a2+3a3+... +nan)/(1+2+3+4+...+n)
=[-(S1+S2+…S(n-1))+nSn]/[n(n+1)/2]
把S1到S(n-1)加起来
-(S1+S2+…S(n-1))+nSn
=an^3+bn^2-n(n-1)(2n-1)/6-n(n-1)/2
=n/6[4a*n^2+3a*n-a+3b(n+1)]
=n(n+1)[a(4n-1)+3b]/6

Bn=[a(4n-1)+3b]/3
为等差数列。

(如果注意到a=d/2,Bn的公差就是d/3*1/2*4=2d/3)

Answer 2

中间一点儿问题已经更正了.

(1)若{an}为等差数列,设an=a1+(n-1)d,则
bn=(a1 + 2 a2 + 3 a3 + ... + n×an)/(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)
=(a1 + 2×(a1 + d) + 3×(a1 + 2×d) + 4×(a1 + 3×d) +...+ n×(a1 + (n-1)×d) )/(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)
=(a1×(1+2+3+4+...+n)+d×(1×2+2×3+3×4+...(n-1)×n))/(1+2+3+4+...+n)
=a1+d×(0×1+1×2+2×3+3×4+...+(n-1)×n)/(1+2+3+4+...+n)
=a1+d×((1^2-1)+(2^2-2)+(3^2-3)+(4^2-4)+...+(n^2-n))/(1+2+3+4+...+n)
=a1+d×((1^2+2×^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n))/(1+2+3+4+...+n)
=a1+d×(1^2+2×^2+3^2+...+n^2)/(1+2+3+4+...+n)-d
=a1+d×(1/6×n×(n+1)(2n+1))/(1/2×n×(n+1))-d
=a1+d×(1/3×(2n+1))-d
=a1 - 2/3×d + 2/3×d×n
=a1+2/3×d×(n-1)
可见{Bn}的首项为a1,公差为2/3×d.

逆命题建议你使用数学归纳法证明.我没有发现简单的办法.

Answer 3

拜托给个完整的题哈

Answer 4

题目都没怎么做啊？

Answer 5

han