Question

已知双曲线Y=K/X与直线Y=1/4X相交于A、B两点

已知双曲线Y=K/X与直线Y=1/4X相交于A、B两点。第一象限上的点M（m,n）是双曲线Y=K/X上的一点，过点B作BD//Y轴于点D。过N（0,-n)作NC//X轴交双曲线Y=K/X于点E，交BD于点C。
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及K的值
（2）若B是CD的重点，连接OE，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式

Answer 1

解：（1）将x=-8代入直线y= 1/4x，
得y=-2．
∴点B坐标（-8，-2），
将点B坐标（-8，-2）代入 y=k/x得：
k=xy=16．
∵A点是B点关于原点的对称点，
∴A点坐标为（8，2）．

（2）∵B是CD中点，C点纵坐标为-n，
∴B点纵坐标为- n/2，
把y=- n/2代入直线y= 1/4x，得B点横坐标为-2n，
∴D点坐标（-2n，0），B点坐标（-2n，- n/2），C点坐标（-2n，-n）．
∴k=（-2n）×（- n/2）=n2．
将E点纵坐标-n代入方程y=n2/x，得其横坐标-n．
∵四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-直角三角形ODB的面积-直角三角形ONE的面积
∴4=2n2- 1/2n2- 1/2n2，
解得n=2．
所以C点坐标（-4，-2），M点坐标（2，2）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则 {-4k+b=-2，2k+b=2，
解得 {k=23，b=23．
∴直线CM解析式为y= 2/3x+ 2/3．

Answer 2

解：（1）将x=-8代入直线y=14x，
得y=-2．
∴点B坐标（-8，-2），--（1分）
将点B坐标（-8，-2）代入y=kx得：
k=xy=16．--（2分）
∵A点是B点关于原点的对称点，
∴A点坐标为（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中点，C点纵坐标为-n，
∴B点纵坐标为-n2，
把y=-n2代入直线y=14x，得B点横坐标为-2n，
∴D点坐标（-2n，0），B点坐标（-2n，-n2），C点坐标（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-n2）=n2．
将E点纵坐标-n代入方程y=n2/x，得其横坐标-n．
∵四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-Rt△ODB的面积-Rt△ONE的面积，
∴4=2n2-12n2-12n2，
解得n=2．--（5分）
所以C点坐标（-4，-2），M点坐标（2，2）--（6分）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则{-4k+b=-22k+b=2，
解得{k=23b=23．
∴直线CM解析式为y=23x+23．--（7分）

（3）将点M的坐标（m，n）代入双曲线方程得：k=mn．
双曲线y=mnx与直线y=14x联立，
解得A点坐标（2mn，mn2），B点坐标（-2mn，-mn2），
∵MA=pMP，MB=qMQ，
∴p=MAMP=2mn-mm，--（9分）
q=MBMQ=2mn+mm，--（11分）
∴p-q=2mn-mm-2mn+mm=-2．--（12分）

Answer 3

解：（1）∵D（-8，0），
∴B点的横坐标为-8，代入y=
1
4
x中，得y=-2，
∴B点坐标为（-8，-2），
而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
∴mn=k，B（-2m，-
n
2
），C（-2m，-n），E（-m，-n），
∴S矩形DCNO=2mn=2k，
∴S△DBO=
1
2
mn=
1
2
k，
∴S△OEN=
1
2
mn＝
1
2
k，
∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k，
∴k=4，
由直线y=
1
4
x及双曲线y＝
4
x
，得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
设直线CM的解析式是y=ax+b，
由C、M两点在这条直线上，得

−4a+b＝−2
2a+b＝2

，
解得a＝b＝
2
3
，
∴直线CM的解析式是y＝
2
3
x+
2
3 http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/01f3679b-db28-46bf-a809-1291ae83f510
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