Question

已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4

已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4，求：
（1）a，b，c中最大者的最小值。
（2）|a|+|b|+|c|的最小值

Answer 1

1.求a,b,c,中最大者的最小值
不妨设a最大,由题意b+c=2-a,bc=4/a,故b,c是方程x^2-(2-a)x+4/a的两根
则△=(a-2)^2-4*4/a≥0
因a 最大,必有a>0,
去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,
(a-4)(a^2+4)≥0
所以a≥4
得a=4
（2）|a|+|b|+|c|≥a＋b＋c＝2
|a|+|b|+|c|的最小值就是2

Answer 2

(1)设a最大,由题意必有a＞0，b+c=2-a,bc=4/a,
于是b,c是方程x^2-(2-a)x+4/a=0的两实根
则△=(a-2)^2-4*4/a≥0
去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,
(a-4)(a^2+4)≥0
所以a≥4
又当a=4，b=c=-1
即a，b，c中最大者的最小值为4

（2）因为abc=4＞0，a+b+c=2＞0
所以a，b，c可能全为正，或一正二负
当a，b，c全为正时，由（1）知a，b，c中最大者的最小值为4，这与a+b+a=2矛盾
当a，b，c一正二负时，设a＞0，b＜0，c＜0
则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2
由（1）知a≥4
所以2a-2≥6
所以|a|+|b|+|c|的最小值就是6