Question

为什么可以用初等变换求逆矩阵

初等变换求逆矩阵方法的证明

Answer 1

初等变换的方法我就不多讲了，相信你也明白，就是对[A|I]进行初等变换，使其变成[I|B],则B就是A的逆矩阵。
原理是这样的：初等行变换相当于矩阵左乘一个可逆阵。举个例子：比如把A的第一行加到第二行，就是A左乘了一个可逆阵
1 0 0 ...0
1 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
那么对A进行一系列的行变换得到I，相当于左乘了一系列的可逆阵后得到I。把这些可逆阵乘在一起，就是PA＝I,那么P就是A的逆。所以当[A|I]中左边的A经过行变换得到I时，右边的I就经过相应的行变换得到了P。

Answer 2

我刚开始学的时候也有这个问题，后来听老师讲也就搞明白了。大家给的标准解释都没有问题，我当时也看了，但还是有地方理解不到。我在这里主要是作一个补充。这个地方就是：一系列的初等矩阵的乘积可以写成一个矩阵，这个矩阵就是所求逆矩阵，但是这个所求逆矩阵并不是初等矩阵，因为它是一系列初等矩阵的乘积，更加有意义的是，它是多次的初等变换而来的，并不是一次而来的。
再仔细想想，我们右边这个单位矩阵到底有什么用？我们老师把它称为记录在案。我们把左边的这个矩阵经过一系列的多次的初等变换变成单位矩阵，那么右边的这个单位矩阵则真真实实的记录了这个多次变换，也就是一系列的初等矩阵的乘积，更是多次初等变换后的矩阵，并且不能称为初等矩阵。

Answer 3

Answer 4

矩阵的初等变换包括行变换和列变换两类。在进行初等变换的过程中，行变换就相当于给矩阵左乘一个变换矩阵，列变换时就相当于右乘一个变换矩阵。
求解矩阵逆矩阵的过程就是求解被求矩阵乘以什么矩阵能够得到单位矩阵的过程。那么在求结过程中，通过进行行列变换，将左侧的被求矩阵转换成单位矩阵的过程就是在不断地给被求矩阵左乘或右乘转换矩阵的过程。所以得到的右侧单位矩阵转化后的矩阵即为所求矩阵的逆矩阵。