Question

数学设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)d

设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)dx

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

变换u＝2x-t，整理得
2x∫(x～2x)f(u)du－∫(x～2x)uf(u)du＝1/2arctan(x^2)
求导得
2∫(x～2x)f(u)du－xf(x)＝x/(1+x^4)
令x＝1，得
∫(1～2)f(u)du＝3/4

－－－－－－－－
其中，∫(x～2x)f(u)du的导数是2f(2x)－f(x)，∫(x～2x)uf(u)du的导数是4xf(2x)－xf(x)

Answer 3

，∫(x～2x)f(u)du的导数是2f(2x)－f(x)，∫(x～2x)uf(u)du的导数是4xf(2x)－xf(x)

Answer 4

先做变量替换2x-t=u
然后两边求导