Question

设等比数列an的公比q,数列{an}的任意两项之积也是该数列中的一项,若啊a1=2^81,求q

Answer 1

因为等比数列an的公比q,数列{an}的任意两项之积也是该数列中的一项
则设a1*an＝ay，公比为q,ay为数列中任一y项，且y>n.
所以a1*a1*q^(n-1)=a1*q^(y-1)
所以a1*q^(n-1)=q^(y-1)
所以q^(y-n)=a1
所以q^(y-n)＝2^81
根据指数定义y-n＝81，q＝2时上式成立
所以q＝2

Answer 2

解：由题意，an=281qn-1，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，
则为am•at=ap，即281qm-1•281qt-1=281•qp-1，（q，m，t，p∈N*），
∴q=81/2(p-m-t+1)
，
故p-m-t+1必是81的正约数，
即p-m-t+1的可能取值为1，3，9，27，81，
即
81
p−m−t+1
的可能取值为1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}