Question

已知函数f(x)=(ax^2-2x)-xlnx有两个极值点,则实数a的取值范围是

Answer 1

f(x)的定义域为x>0
f'(x)=2ax-2-lnx-1=2ax-3-lnx
f"(x)=2a-1/x
依题意，f'(x)=0有两个正根
则f"(x)=0有一个正根x=1/(2a),且它为f'(x)的极小值
故a>0
f'(1/(2a))=1-3+ln(2a)=-2+ln(2a)
因为f'(0+)>0, f'(+∞)>0
所以为使f'(x)=0有两正根，只需-2+ln(2a)>0
得a>e²/2

追问

你好，感谢你的标准解答，如果“有一个正根x=1/(2a),且它为f'(x)的极小值，f'(1/(2a))=-2+ln(2a)>0”怎么可能“f'(x)=0有两正根”？

追答

符号搞错了，应该是f'(1/2a)<0
即-2+ln(2a)<0
得0<a<e²/2