Question

在三角形abc中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足sinB/sinA=c/a+b-c。求

在三角形abc中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足sinB/sinA=c/a+b-c。求证:三角形abc是等腰三角形

Answer 1

1. 2sinAcosC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
移项，有sinAcosC+sinCcosA-2sinAcosC=0
即 sinAcosC-sinAcosC=0 ∴sin(A-C)=0
A-C=180°（舍去，在三角形中，这不可能）。或者A-C=0
所以角A=角C 所以a/c=1
2. sin(2A+B)=sin(A+A+B)=sin(A+π-C)=sin[π-(C-A)]=sin(C-A)
sinB=sin(π-A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
∴sin(C-A)=3sin(A+C)
所以sinCcosA-cosCsinA=3sinAcosC+3cosAsinC
两边同时除以cosCcosA（A,C均不为90°，所以cosC,cosA均不等于0，他们的乘积也不等于0）,
得 tanC-tanA=3tanA+3tanC
∴-2tanC=4tanA
tanA/tanC=-2/4=-1/2（负的二分之一）