Question

如图,抛物线y=a(x-h)²+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C。

（1）求此抛物线的解析式。
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标。
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内次抛物线上与AC距离最远的点的坐标

Answer 1

由顶点坐标知道h=1,k=2，代入点A有a=-1,y=-(x-1)^2+2

AC方程：y=-x+1,AC中垂线：y=x，与抛物线相交于P点，解得P的x坐标为（1+根号5）/2，y坐标为（1+根号5）/2。

AC垂线的方程设为y=x+b, 要求的点设为Q（x0,y0）,
垂线和抛物线联立，得到x^2-x+3+b=0
Q点坐标满足上述方程，x1+x2=1,x1*x2=3+b
Q点和AC距离为|x-y+b|/根号2=|x^2-x-1+b|/根号2
现在需要求这个距离的最大值，也就是求|x^2-x-1+b|的最大值

首先要确定x的取值范围。当直线AC和抛物线相交时，交点是（0，1）和（3，-2），所以0<x<3.在这个范围内，当x=3时|x^2-x-1+b|有最大值|5+b|。这个时候Q（3，-2）