Question

关于数学分析.的2道题..第六题让构造函数在x=0处可微但是其他点不连续...第二个让证明陈述是否

关于数学分析.的2道题..第六题让构造函数在x=0处可微但是其他点不连续...第二个让证明陈述是否正确....额..手机知道不太会用...之后会追加分数的谢谢....

Answer 1

不好写啊 尽量帮你谢谢 不懂可以追问我：
构造的函数如下：
f(x)={若x为有理数且x不为0，x可以写成q/p的形式，则f(x)=1/p
{若x为0或者为无理数，则f(x)=0
0点连续性证明如下，对于任意小的e>0,取e>=e1>0,则存在e1=q1/p1,那么去a=1/p1,则对于任意x属于[-a.a]，那么x<1/p1<=e1<=e,由e的任意性，则x在0点连续。
在其他点不连续证明如下，由无理数以及有理数的稠密性，对于任意有理数点周围存在无理点，所以不连续；同理无理点不连续

第二题我无法理解I是什么 I是虚数么

追问

额。第二个。。I是任意定义域。。。恩。。
然后第一个。。还是不明白。。若x为0或者为无理数，则f(x)=0。。这个是为啥额。。。。
这样如果根据说是每个有理数周围都存在无理点的话这样子不是所有的函数都不连续了额= =。有点没懂。。。。

追答

第6题是我写错了。我写的那个是在所有无理数点连续，在所有有理数除0外不连续。
你那个第7题是著名的定理好不好.
言尽于此，好自为之。自己去查吧

追问

嗯...老师讲过了谢谢～

Answer 2

6、f(x)=x^2 x∈Q;-x^2 x∈R\Q
7、因为函数F(x)=(f(x)-f(c))/(x-c) x≠c;f'(c) x=c在x=c处连续
所以任意给定正数a，存在正数b，当|x-c|<b时，|F(x)-F(c)|<a
当u,v在(c-b,c+b)时，
f(v)-f(c)=F(v)(v-c)
f(c)-f(u)=F(u)(c-u)
加起来：f(v)-f(u)=F(u)(c-u)+F(v)(v-c)
所以左边=|F(u)(c-u)+F(v)(v-c)-(v-u)F(c)|
=|(c-u)(F(u)-F(c))+(v-c)(F(v)-F(c))|
<=(c-u)|F(u)-F(c)|+(v-c)|F(v)-F(c)|
<a(c-u)+a(v-c)
=a(v-u)
不成立，比如f(x)是6题那个，c=0，v为正有理数，u为正无理数，任意取b，取b/2<u,v<b，则左边>b^2/2，取a=b，则左边>b*b/2>a(v-u)

Answer 3

构造的函数如下：
f(x)={若x为有理数且x不为0，x可以写成q/p的形式，则f(x)=1/p
{若x为0或者为无理数，则f(x)=0
0点连续性证明如下，对于任意小的e>0,取e>=e1>0,则存在e1=q1/p1,那么去a=1/p1,则对于任意x属于[-a.a]，那么x<1/p1<=e1<=e,由e的任意性，则x在0点连续。
在其他点不连续证明如下，由无理数以及有理数的稠密性，对于任意有理数点周围存在无理点，所以不连续；同理无理点不连续