Question

如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,AE= 1/2 ED,延长DB到点F,使FB= 1/2

使FB= 1/2BD 连接AF
（1）求证△ABE∽ADB
（2）求证直线AF与圆O相切

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB
∵点A、B、C、D在⊙O上
∴∠ACB与∠ADB是园周角且同弧AB
∴∠ACB=∠ADB，即∠ABC=∠ADB
∵在△ABE和△ADB中，∠ABC=∠ADB，∠BAD=∠DAB
∴△ABE∽△ADB

（2）连接OA
∵点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC
∴OA垂直平分BC
∵AE=1/2ED，FB=1/2BD
∴AD=3/2ED，DF=3/2BD
即AD/ED=DF/BD=3/2
∵在△DAF和△DEB中，
∠ADF=∠EDB，AD/ED=DF/BD
∴△DAF∽△DEB
∴∠F=∠EBD
∴BE∥FA
∴OA⊥AF
∵OA是⊙O的半径
∴AF是⊙O的切线

Answer 2

（2）证明：连接OA，OB，OC，
∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，
∴△OAB≌OAC，
∴∠OAB=∠OAC，
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，
∴AO⊥BC，
∵△BDE∽FDA，
得∠EBD=∠AFD，
∴BE∥FA，
∵AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直线AF与⊙O相切。