Question

已知递增的正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6

（1）若bn=n·an，试求{bn}的前n项和In
（2）差数列{an}满足：an=1/an，数列{an}的前n项和Qn，试比较Qn与2的大小
详解，谢谢！

Answer 1

第二题的题目没有问题吗

如果没有的话，an=1时，n>2时Qn>2

an=-1时，Qn<2

Answer 2

（1）
等比数列
a5-a1=a1*q^4-a1=15
a4-a2=a1*q^3-a1*q=6
上下相除得
(q^4-1)/(q^3-q)=5/2
(q^2+1)(q^2-1)/q(q^2-1)=5/2
解得
q=2或q=1/2
∵数列递增
∴q=2
a1=1
an=1*2^(n-1)=2^(n-1)
bn=n*an
b1=1*2^(1-1)=1*1
b2=2*2^1
b3=3*2^2
.....
bn=n*2^(n-1)
Ln=1*1+2*2^1+3*2^2+........n*2^(n-1)
2Ln= 1*2^1+2*2^2+3*2^3+....(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
下式-上式得
Ln=-1-2^1-2^2-2^3-......-2^(n-1)+n*2^n
Ln=-(1+2^1+2^2+2^3+......+2^(n-1))+n*2^n...............括号内等比数列求和公式
=-1*(1-2^n)/(1-2)+n*2^n
=n*2^n-(2^n-1)
=(n-1)*2^n+ 1
(2)
an=1/an?
这么写的
an=1

追问

2^1是什么意思？
第二题不明白

追答

^..............表示次方
^2..................2次方
^3................3次方
（2）没问题？就这么写的？

追问

知道了，第二题还是不太懂能再写一次吗？

追答

第二问如果你没写错的话
an=1/an
an²=1
an=1或-1
常数数列也是等差数列
an=-1时
Qn=-n恒=3时
Qn>2

追问

明白了，谢谢！

追答

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Answer 3

（1）.a1（q^2-1)(q^2+1)=15
a1q（q^2-1)=6
两个式子比一下，得出q=2，q=1/2（舍）a1=1
an=2^(n-1)
bn=n*2^(n-1)
所以对于bn这个数列的求和，要采用错位相减法。
Sbn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+.......+n*2^(n-1)
2Sbn= 1*2^1+2*2^2+3*2^3+.........(n-1)*2^n-1+n*2^n
然后两式相减，得：-Sbn=1+(2^1+2^2+2^3+2^4+......+2^n-1)-n*2^n
整理一下：Sbn=（n-1)*2^n+1
要注意的是错位相减法很容易在计算时出差错，要仔细。
（2）第二问就比较轻松了，运用一下公比小于1的等比数列求和公式即可，
cn=（1/2）^(n-1) 所以Qn=c1/(1-q)=2
所以Qn=2