Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1

若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围

Answer 1

x∈[2,∞)，f(x)≥0，即x³+3ax²+3x+1>=0，即x+3/x+1/x²>=-3a
即x∈[2,∞)时，-3a<=x+3/x+1/x²恒成立，求x+3/x+1/x²在[2,∞)的最小值即可。
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3x-2)/x³
下面我们证g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立，也即x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立。
令h(x)=x³-3x-2;
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，易知h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立，所以g(x)在x∈[2,∞)为增函数，所以h(x)>=h(2)=0，也就是x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立，
也即g'(x)>=0在x∈[2,∞)恒成立，g(x)在x∈[2,∞)为增函数，
所以g(x)的最小值为g(2)=15/4，
所以-3a<=(2)=15/4，
得a>=-5/4

施主，我看你骨骼清奇，
器宇轩昂,且有慧根,
乃是万中无一的武林奇才.
潜心修习,将来必成大器，
鄙人有个小小的考验请点击在下答案旁的
"选为满意答案"

追问

为什么 h'(x)=3x²-3=3(x 1)(x-1)，就知道？h'(x)>0在 x∈[2,∞)恒成立

Answer 2

要使x∈[2,+∞)，f(x)≥0恒成立
即x³+3ax²+3x+1≥0在[2,+∞)恒成立
∴x+3/x+1/x²≥-3a
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3x-2)/x³
令h(x)=x³-3x-2
h'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)
从而h'(x)>0在x∈[2,∞)恒成立
∴h(x)>=h(2)=0
∴x³-3x-2>=0在x∈[2,∞)恒成立
即g'(x)≥0在x∈[2,∞)恒成立
∴g(x)在x∈[2,∞)为增函数，
∴g(x)的最小值为g(2)=15/4
∴-3a≤g(2)=15/4，
得a≥-5/4