Question

已知sinα+sinβ=2分之根号二,求cosα+cosβ的取值范围

已知sinα+sinβ=2分之根号二,求cosα+cosβ的取值范围 求解题过程及答案

Answer 1

sinα+sinβ＝ 2分之根号2
则(sinα+sinβ)^2=1/2……①
设cosα+cosβ=t
则(cosα+cosβ)^2=t^2……②
①+②得
(sinα+sinβ)^2+(cosα+cosβ)^2=1/2+t^2
展开得到
sinα^2+sinβ^2+2sinα*sinβ+cosα^2+cosβ^2+2cosα*cosβ=1/2+t^2
整理得
2+2cos(α-β)=1/2+t^2
t^2=3/2+2cos(α-β)
因为-1≤cos(α-β)≤1
所以0≤t^2≤7/2
所以-2分之根号14≤t≤2分之根号14
所以-2分之根号14≤cosα+cosβ≤2分之根号14

Answer 2

解:由于:sinα+sinβ=2分之根号2，
则令cosα+cosβ=k
将以上两式分别平方并相加得:(sinα)^2+2sinαsinβ+(sinβ)^2+(cosα)^2+2cosαcosβ+(cosβ)^2=(1/2)+k^2[(sinα)^2+(cosα)^2]+[(sinβ)^2+(cosβ)^2]+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1/2+k^2
由sin�0�5x+cos�0�5x=1
所以2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1/2+k^2
则有:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(k^2-3/2)/2
由于：-1<=cos(α-β)<=1
则有：-1<=(k^2-3/2)/2<=1
-1/2<=k^2<=7/2
即0<=k^2<=7/2
所以:-√14/2<=cosα+cosβ<=√14/2

Answer 3

设cosα+cosβ=m ① 又sinα+sinβ=√2/2 ②.①2+②2得：2+2cos(α+β)=1/2+m2 cos(α+β)=1/2m�0�5-3/4∵－1≤cos(α－β)≤1,∴－1≤1/2m�0�5-3/4≤1解得：－√14/2≤m≤√14/2故－√14/2≤cosα+cosβ≤√14/2