Question

已知数列an的前n项和满足Sn=2an-1 数列bn满足b1=2。b（n+1）=an+bn。

已知数列an的前n项和满足Sn=2an-1 数列bn满足b1=2。b（n+1）=an+bn。 求an的通项公式。 求bn的前n项和

Answer 1

Sn=2an-1
n=1, a1= 1
an = Sn-S(n-1)
= 2an - 2a(n-1)
an = 2a(n-1)
{an}是等比数列, q=2
an = 2^(n-1). a1
= 2^(n-1)
b(n+1) = an +bn
= bn + 2^(n-1)
b(n+1)-bn= 2^(n-1)
bn-b(n-1)= 2^(n-2)
bn -b1 = 1+2+....+2^(n-2)
= 2^(n-1) -1
bn = 1+2^(n-1)
b1+b2+...+bn = (n-1) + 2^n

Answer 2

当 n=1 时，a1=S1=2a1-1
所以 a1=1
an=Sn-S(n-1)=2an-1-2a(n-1)+1=2an-2a(n-1)
所以 an=2a(n-1)
所以 {an}是首项为1，公比为2的等比数列
所以 an=2^(n-1)

由题设b(n+1)=an+bn
b2-b1=a1
b3-b2=a2
b4-b3=a3
......
bn-b(n-1)=a(n-1)
把所有项相加，正负抵消后，bn-b1=a1+a2+a3+...+a(n-1)=S(n-1)=2a(n-1)-1=2^(n-1)-1
所以 bn=2^(n-1)-1+b1=2^(n-1)+1
所以 Tn=2^0+1+2^1+1+2^2+1+...+2^(n-1)+1
Tn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)+n
Tn=2^n +n-1

Answer 3

(1)an=Sn-S(n-1)
an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
所以数列an是以公比为2的等比数列
a1=S1=2a1-1
a1=1
an=a1q^(n-1)=2^(n-1)

(2)b(n+1)=an+bn
b(n+1)-bn=an
bn-b(n-1)=a(n-1)
......
b3-b2=a2
b2-b1=a1 左边与左边相加，右边与右边相加，得
b(n+1)-b1=a1+a2+...+an
b(n+1)=2+1+2+4+...+2^(n-1)
=2+(1-2^n)/(1-2)
b(n+1)=2^n+1
bn=2^(n-1)+1 当n=1时，b1=2^0+1=2=b1
所以bn=2^(n-1)+1恒成立
Tn=b1+b2+...bn
=n+1+2+...+2^(n-1)
=n+(1-2^n)/(1-2)
=n+2^n -1