Question

已知函数fx=2^x且fx=gx+hx,其中gx为奇函数,hx为偶函数，若不等式2a*gx+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，

则实数a的取值范围为

Answer 1

f(x)=g(x)+h(x)
f(x)=2^x
所以
g(x)+h(x)=2^x (1)
将x换成-x等式也成立，即
g(-x)+h(-x)=2^(-x)

因为g(x)为奇函数，h(x)为偶函数
所以g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
于是有：
-g(x)+h(x)=2^(-x) (2）
（1）+（2）：
2h(x)=2^x+2^(-x):
h(x)=[2^x+2^(-x)]/2
(1)-(2):
2g(x)=2^x-2^(-x)
g(x)=[2^x-2^(-x)]/2

不等式2a*g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，
即2ag(x)≥-h(2x)
a[2^x-2^(-x)]+[2^(2x)+2^(-2x)]/2≥0
2a[2^x-2^(-x)]+[2^(2x)+2^(-2x)-2]+2≥0
2a[2^x+2^(-x)]+[2^x-2^(-x)]^2+2≥0
设g(x)=2^x-2^(-x)=t
∵2^x为增函数，2^(-x)为减函数，-2^(-x)为增函数
∴t=2^x-2^(-x)为增函数
∵x∈[1,2]
∴t∈[0,15/4]
所以2at+t^2+2≥0
t=0时，不等式成立
0<t≤15/4时，不等式即
2at≥-t^2-2
2a≥-(t+2/t)
根据均值定理， t+2/t≥2√2
当且仅当t=2/t,t=√2时取等号
∴-（t+2/t)≤-2√2
即-(t+2/t)max=-2√2
不等式恒成立，则2a≥-2√2
∴a≥-√2

追问

为什么将x换成-x等式也成立

追答

g(x)+h(x)=2^x (1)
它对任意的实数都成立，
-x也是实数，代入当然成立