Question

关于x的一元二次方程为 (m-1)x2-2mX+m+1=O (1)求出方程的根? (2)m为何整数

关于x的一元二次方程为
(m-1)x2-2mX+m+1=O
(1)求出方程的根?
(2)m为何整数时，此方程的两个根为正整数？

Answer 1

原方程化为 (x-1) [(m-1)x-(m+1)]=0
(1) 当 m=1 时，原方程退化为 -2(x-1) =0，只有一个根 x=1；
当m不等于1 时，原方程有两个根：x=1 及 x = (m+1)/(m-1)
(2) 由上述(1)，当且仅当 (m+1)/(m-1)为正整数时，有两个正整数的根（其中之一恒为1）。
而 (m+1)/(m-1) = 1+ 2/(m-1)，
所以，当且仅当第二项 2/(m-1)为正整数时， 原方程有两个正整数的根
由 2/(m-1) 〉0 得 m>1； 由 2/(m-1) 〉=1 得 m<=3
所以，m=2 时，有两个正整数的根 x=1 及 x =3；m=3 时，有两个正整数的根 x=1 及 x =2。
（一楼的一开始把根的表达式搞错了，第二个根的分子分母颠倒了，所以后面的结果都错了；
另外，他没注意到m=1时方程退化的特殊情形。）

Answer 2

解：因为(m-1)x2-2mX+m+1=O的判别式=4，由求根公式得：x=1或x=(m-1)/(m+1)；

由(m-1)/(m+1)=1-[2/(m+1)]可知：2能被m+1整除，所以m=0或1或-2或-3，
验证得：m=-2或-3时，此方程的两个根为正整数