Question

有1元三次方程与1元四次方程的求根公式吗

Answer 1

一，3次方程
1,求根公式
1-1，将x^3 + bx^2 + cx + d = 0,变换成t^3 + pt + q = 0的形式。
0 = x^3 + bx^2 + cx + d = x^3 + bx^2 + x(b/3)^2 + (b/3)^3 - x(b/3)^2
- (b/3)^3 + cx + d = (x+b/3)^3 + x[c - (b/3)^2] + d - (b/3)^2
= (x+b/3)^3 + (x+b/3)[c-(b/3)^2] - (b/3)[c-(b/3)^2] + d - (b/3)^2.
所以，只要令t = x+b/3,就可以将x^3 + bx^2 + cx + d = 0,变换成t^3 + pt + q = 0的形式了。
下面，只讨论 x^3 + px + q = 0的根的求法。

1-2，令x = u+v.将3次方程的求根问题转化为2次方程的求根问题。
0 = x^3 + px + q = (u+v)^3 + p(u+v) + q = u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = [u^3 + v^3 + q] + (u+v)[3uv + p]
这样，只要能找到u,v使得u^3 + v^3 = -q, uv = -p/3, x = u + v就满足3次方程 x^3 + px + q = 0.
也就是说，如果能找到a,b，满足
a = u^3, b = v^3
a + b = u^3 + v^3 = -q,
ab = (uv)^3 = -(p/3)^3
则，x = u + v = a^(1/3) + b^(1/3)一定是x^3 + px +q = 0的根。
而由韦达定理。
a,b是方程z^2 + qz - (p/3)^3= 0的2个根。
所以，
a = {-q + [q^2 + 4(p/3)^3 ]^(1/2)}/2
b = {-q - [q^2 + 4(p/3)^3 ]^(1/2)}/2
x = a^(1/3) + b^(1/3)
是x^3 + px + q = 0的1个根。

又因为
e^[i2PI] = 1
e^[i2PI/3], e^[-i2PI/3] 和 1 = e^[i2PI]是1的3个3次方根
【 [e^(i2PI/3)]^3 = [e^(-i2PI/3)]^3 = 1^3 = 1，
[e^(i2PI/3)]^2 = e^(-i2PI/3),
[e^(-i2PI/3)]^2 = e^(i2PI/3) 】

所以，
[a^(1/3)e^(i2PI/3)]^3 + [b^(1/3)e^(-i2PI/3)]^3 = a + b = -q
a^(1/3)e^(i2PI/3)*b^(1/3)e^(-i2PI/3) = (ab)^(1/3) = -p/3
因此，x = a^(1/3)e^(i2PI/3) + b^(1/3)e^(-i2PI/3)也是x^3 + px +q = 0的根。
同样，
[a^(1/3)e^(-i2PI/3)]^3 + [b^(1/3)e^(i2PI/3)]^3 = a + b = -q
a^(1/3)e^(-i2PI/3)*b^(1/3)e^(i2PI/3) = (ab)^(1/3) = -p/3
因此，x = a^(1/3)e^(-i2PI/3) + b^(1/3)e^(i2PI/3)也是x^3 + px +q = 0的根。

这样，
x^3 + px + q = 0的3个根就找到了，分别是，
a^(1/3) + b^(1/3),
a^(1/3)e^(i2PI/3) + b^(1/3)e^(-i2PI/3)和
a^(1/3)e^(-i2PI/3) + b^(1/3)e^(i2PI/3)。
其中，
a = {-q + [q^2 + 4(p/3)^3 ]^(1/2)}/2
b = {-q - [q^2 + 4(p/3)^3 ]^(1/2)}/2

例如，求 x^3 + x - 3 = 0 的3个根.

令x = u + v
0 = (u+v)^3 + (u+v) - 3
= u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + (u+v) - 3
= (u+v)[3uv + 1] + [u^3 + v^3 - 3]

这样，
只要能找到 u,v,满足
uv = -1/3,
u^3 + v^3 = 3
则x = u + v一定是x^3 + x - 3 = 0的根。
也就是说，如果能找到a,b，满足
a = u^3, b = v^3
a + b = u^3 + v^3 = 3,
ab = (uv)^3 = -(1/3)^3
则，x = u + v = a^(1/3) + b^(1/3)一定是x^3 + x - 3 = 0的根。

由韦达定理。
a,b是方程z^2 - 3z - (1/3)^3= 0的2个根。
所以，
a = {3 + [9 + 4(1/3)^3 ]^(1/2)}/2
b = {3 - [9 + 4(1/3)^3 ]^(1/2)}/2
x = a^(1/3) + b^(1/3)
= ({3 + [9 + 4(1/3)^(1/3) ]^(1/2)}/2)^(1/3) +
+ ({3 - [9 + 4(1/3)^(1/3) ]^(1/2)}/2)^(1/3)
是x^3 + x - 3 = 0的1个根。

又，
[a^(1/3)e^(i2PI/3)]^3 + [b^(1/3)e^(-i2PI/3)]^3 = a + b = 3
a^(1/3)e^(i2PI/3)*b^(1/3)e^(-i2PI/3) = (ab)^(1/3) = -1/3
因此，x = a^(1/3)e^(i2PI/3) + b^(1/3)e^(-i2PI/3)也是x^3 + x - 3 = 0的根。

同样，
[a^(1/3)e^(-i2PI/3)]^3 + [b^(1/3)e^(i2PI/3)]^3 = a + b = 3
a^(1/3)e^(-i2PI/3)*b^(1/3)e^(i2PI/3) = (ab)^(1/3) = -1/3
因此，x = a^(1/3)e^(-i2PI/3) + b^(1/3)e^(i2PI/3)也是x^3 + x - 3 = 0的根。

这样，
x^3 + x - 3 = 0的3个根就找到了，分别是，
a^(1/3) + b^(1/3),
a^(1/3)e^(i2PI/3) + b^(1/3)e^(-i2PI/3)和
a^(1/3)e^(-i2PI/3) + b^(1/3)e^(i2PI/3)。
其中，
a = {3 + [9 + 4(1/3)^3 ]^(1/2)}/2
b = {3 - [9 + 4(1/3)^3 ]^(1/2)}/2

二，四次方程
2-1，将x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,变换成t^4 + pt^2 + qt + r = 0的形式。
我们知道，(x+h)^4 = x^4 + 4hx^3 + 6h^2x^2 + 4h^3x + h^4,

x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = x^4 + 4(a/4)x^3 + 6(a/4)^2x^2 + 4(a/4)^3x + (a/4)^4 - 6(a/4)^2x^2 - 4(a/4)^3x - (a/4)^4 + bx^2 + cx + d
=[x+a/4]^4 + x^2[b - 6(a/4)^2] + x[c - 4(a/4)^3] + d - (a/4)^4
=[x+a/4]^4 + [b-6(a/4)^2][x^2 + 2(a/4)x + (a/4)^2] -[b-6(a/4)^2][2(a/4)x + (a/4)^2] + x[c-4(a/4)^3] + d-(a/4)^4
=[x+a/4]^4 + [b-6(a/4)^2][x+a/4]^2 + [c-4(a/4)^3 - 2(a/4)[b-6(a/4)^2]][x+a/4] - (a/4)[c-4(a/4)^3-2(a/4)[b-6(a/4)^2]] + d-(a/4)^4

因此，只要令t=x+a/4,就能把x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0变换成t^4+pt^2+qt+r=0的形式。
以下，只讨论x^4+px^2+qx+r=0的根的求法。

2-2 使得x^4+px^2+qx+r=0可以表达为(x^2+u)^2=x^2[2u-p]-qx+[u^2-r]的形式。

对于任何参数u,这是恒等式。
x^4=-px^2-qx-r,
x^4 + 2ux^2 + u^2 = x^2[2u-p] - qx + [u^2-r],
(x^2+u)^2 = x^2[2u-p] - qx + [u^2 - r].

问题是，上式等号的左边是一个完全平方式。能否选择参数u，使得上式等号的右边也是一个完全平方式。

2-3 解算参数u,使得x^2[2u-p] - qx + [u^2 - r]是一个完全平方式。
显然，u=p/2时，x^2[2u-p] - qx + [u^2 - r] = -qx +(p/2)^2-r是变量x的1次方程，不可能是非负的。因此永远不可能表达成完全平方式。
u不等于p/2时，
x^2[2u-p] - qx + [u^2 - r]=[2u-p][x^2 - 2qx/(4u-2p) + [q/(4u-2p)]^2] + [u^2 - r] - q^2/[4(2u-p)]
=[2u-p][x - q/(4u-2p)]^2 + [4(u^2-r)(2u-p) - q^2]/[4(2u-p)].

要使得上式是完全平方式，只能，
0 = 4[2u-p][u^2 - r] - q^2 = 8u^3 - 4pu^2 - 8ru - q^2 + 4pr,
u^3 - (p/2)u^2 - ru + (4pr-q^2)/8 = 0,
这是关于变量u的3次方程，利用3次方程的求根公式，至少可以找到一个u满足上式。

这样，总可以找到参数u,v,使得x^2[2u-p] - qx + [u^2 - r]=[2u-p][x-q/(4u-2p)]^2。

于是，方程x^4+px^2+qx+r=0可以变换为方程(x^2+u)^2 = s(x+v)^2的形式。
其中，u,v,s都是已知常数。

2-4，解算关于变量x的方程，[x^2 + u]^2 = s[x+v]^2。
可以化为，
x^2+u = s^(1/2)(x+v)
或
x^2+u = -s^(1/2)(x+v),
上面的2个2次方程各有2个根。
这样，4次方程的4个根就解算出来了。
[注：s<0时，s^(1/2)=|s|^(1/2)*i,i^2 = -1.]

Answer 2

一元三次方程是型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型
　　其解法如下
　　将上面的方程化为x^3+bx^2+cx+d=0,
　　设x=y-b/3,则方程又变为y^3+(c-b^2/3)y+(2b^3/27-bc/3+d)=0
　　设p=c-b^2/3,q=2b^3/27-bc/3+d,方程为y^3+py+q=0
　　再设 y=u+v
　　{
　　p=—3uv
　　则（u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0 => u^3+v^3+q=0
　　所以q+u^3-(p/(3u))^3=0,即（u^3)^2+qu^3-(p/3)^3=0
　　设u^3=t,则t^2+qt-(p/3)^3=0
　　解得t=(-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2
　　所以u=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3),
　　所以v=—p/(3u)=(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)
　　所以y1=u+v
　　=((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)+(-p/3)/((-q±(q^2+4(p/3)^3)^0.5)/2)^(1/3)
　　这是一个根，现求另两根：
　　将y1代入方程得
　　y^3+py+q=(y-y1)*f(x)
　　f(x)用待定系数法求，即设
　　y^3+py+q
　　=(y-y1)（y^2+k1y+k2)
　　=y^3+(k1-y1)y^2+(k2-k1y1)y-k2y1
　　所以k1=y1,k2=p+k1^2
　　f(x)=y^2+y1*y+p+y1^2
　　然后用求根公式解出另两根y2,y3.

很烦人的,但就是这样