Question

问一道高中数学题

设圆（x-3）*2+（y+5）*2=r*2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是

Answer 1

解圆（x-3）*2+（y+5）*2=r*2（r>0）的圆心为（3，-5）

圆心到直线4x-3y-2=0的距离
d=/4*3-3（-5）-2//√[4^2+(-3)^2]=5
作图分析知（临界分析）
当r=4时，圆（x-3）*2+（y+5）*2=r*2（r>0）上有且仅有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，

当r=6时，圆（x-3）*2+（y+5）*2=r*2（r>0）上有且仅有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，
有图可以得知
当4＜r＜6时，
圆（x-3）*2+（y+5）*2=r*2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1

Answer 2

圆心(3,-5) 到直线的距离是5
与直线4x-3y-2=0距离是1的直线有两个4x-3y-7=0和4x-3y+3=0
圆心到4x-3y-7=0距离为4， 到4x-3y+3=0距离是6
如果圆与4x-3y+3=0相交， 那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交
交点个数多于两个， 于是圆上点到4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个
所以圆与4x-3y+3=0不相交如果圆与4x-3y-7=0的距离<=1，
那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个，
所以 圆与4x-3y-7=0相交 与4x-3y+3=0相离 所以4<r<6

Answer 3

思路：圆心为(3,-5)，显然不在直线4x-3y-2=0的直线上。在直线两边分别画两条直线与此直线平行，且与此直线的距离均等于1，不妨设这两条直线靠近圆心的一条为a，远离圆心的一条为b，则这个圆由圆心开始（半径为0）逐渐扩大，直到与a相切、相交，再到与b相切为止。与直线a相切时的半径为ra，与直线b相切时的半径为rb，则圆的半径为(ra,rb)，注意是小括号，不能包含ra和rb。

Answer 4

当4＜r＜6时，
圆（x-3）*2+（y+5）*2=r*2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1