Question

一道数学题，求详解。。谢谢。。

P是三角形ABC内一点，联结PA,PB,PC,把三角形ABC面积三等分，为什么P是三角形ABC中线的交点而不是内角平分线的交点。

Answer 1

举例论证，若P为中线交点，延长CP交AB于一点D,则:AD=BD
所以由等底等高可知：
S △BDP = S △ADP ---（1)
且S △BDC= S △ADC --- (2)
由(2)- (1)得: S △BDC - S △BDP = S △ADC - S △ADP
=> S △BPC= S △APC
同理可知: S △BPC = S △APB
所以S △BPC= S △APC = S △APB
即三角形面积被三等分。

当P为角平分线时，AD不等于BD（除特殊三角形状况外)，所以以上理论不成立。
三角形面积不会被三等分。

Answer 2

解：如图所示，因为S△APB=S△APC=S△BPC所以AB*h1=AC*h2=BC*h3，AB/AC=h2/h1=h5/h4=(CD*sin∠C)/(BD*sin∠B)= (CD/BD)*(AB/AC)即AB/AC=(CD/BD)*(AB/AC)，CD=BD同理可知，其他延长线与对边的交点也是中点所以P为重心特殊地，当此题为选择题时，可由等边直角三角形判断出垂心，内心，外心都是不符合条件的，所以只能是重心，并且可以证明其中任意两心合一，必然导致四心合一，即三角形为等边三角形

Answer 3

解：如图所示，因为S△APB=S△APC=S△BPC
所以AB*h1=AC*h2=BC*h3，AB/AC=h2/h1=h5/h4
=(CD*sin∠C)/(BD*sin∠B)= (CD/BD)*(AB/AC)
即AB/AC=(CD/BD)*(AB/AC)，CD=BD
同理可知，其他延长线与对边的交点也是中点
所以P为重心
特殊地，当此题为选择题时，可由等边直角三角形
判断出垂心，内心，外心都是不符合条件的，所以
只能是重心，并且可以证明其中任意两心合一，必
然导致四心合一，即三角形为等边三角形

http://zhidao.baidu.com/link?url=_WlOA9Mu2mjghhN29xY3C_e1Zz4z-jGB0DxQHPUNAyt5mw7CN5c55DCRtmWx7Y87y6HSTkrYK4vFXLqyhbeFhq
参考文献

Answer 4