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条件极值问题:
设长宽高分别为 x,y,z, 则条件是 3xy+2xz+2yz=36 ,
求 V=xyz 的最大值,
构造拉格朗日函数 L=xyz+λ(3xy+2xz+2yz-36),则
L'<x>=0, yz+λ(3y+2z)=0 ①
L'<y>=0, xz+λ(3x+2z)=0 ②
L'<z>=0, xy+λ(2x+2y)=0 ③
L'<λ>=0, 3xy+2xz+2yz=36 ④
① - ②, 得 y=x, 代入 ③ 得 x=-4λ,
代入 ②, 得 z=-6λ, 故 z=3x/2
将 y=x, z=3x/2 代入 ④, 得 x=2,
则 x=y=2m, z=3m.
设长宽高分别为 x,y,z, 则条件是 3xy+2xz+2yz=36 ,
求 V=xyz 的最大值,
构造拉格朗日函数 L=xyz+λ(3xy+2xz+2yz-36),则
L'<x>=0, yz+λ(3y+2z)=0 ①
L'<y>=0, xz+λ(3x+2z)=0 ②
L'<z>=0, xy+λ(2x+2y)=0 ③
L'<λ>=0, 3xy+2xz+2yz=36 ④
① - ②, 得 y=x, 代入 ③ 得 x=-4λ,
代入 ②, 得 z=-6λ, 故 z=3x/2
将 y=x, z=3x/2 代入 ④, 得 x=2,
则 x=y=2m, z=3m.
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