Question

△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若C＝90°，如图根据勾股定理，则a²＋b²＝c²，若△

ABC不是直角三角形，请你类比勾股定理，试猜想a²＋b²与c²的关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：当△ABC为锐角三角形时，做BC边上的高AD⊥BC于D，∴∠ADC=∠ADB=90°。设CD为x，BD为a-x。在Rt△ACD和Rt△ABD中，∠ADC=∠ADB=90°。由勾股定理得：AD²=b²-x²=c²-（a-x）²，b²-x²=c²-a²+2ax-x²，a²+b²-2ax=c²。∵2ax>0，∴a²+b²>c²当△ABC为钝角三角形时，做BC边上的高AD⊥BC的延长线于D，∴∠D=90°。设CD为y，BD为a+y。在Rt△ACD和Rt△ABD中，∠D=90°，由勾股定理得：AD²=b²-y²=c²-（a+y）²，b²-y²=c²-a²-2ay+y²，a²+b²+2ay=c²，∵2ay>0，∴a²+b²<c²