Question

如图1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.

（1）求证：CE=CF
（2）将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，将点E'落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.

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Answer 1

（1）证明：
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD
∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°
∵CD⊥AB于D，∴∠EAD+∠AED=90°
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF
∴∠CFA=∠CEF，∴CE=CF；

（2）猜想：BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，∴ED=EG，由平移的性质可知：D′E′=DE，∴D′E′=GE
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
∠GCE=∠B
∠CGE=∠BD′E′
GE=D′E′
∴△CEG≌△BE′D′，∴CE=BE′，由（1）可知CE=CF，∴BE′=CF．