Question

如图,在直角梯形ABCD中,AD平行于BC,AD＜BC,∠A=90°,已知梯形ABCD的各边长均为整数

其中AB=m,且AD,BC的长为方程x-（2m-3)x+m-2m-4=0的两根。 ①求梯形ABCD的周长； ②问：在腰AB上是否存在一点P,使得△ADP与△BCP相似？若存在，试求出AP的长，并尽可能多地指出此时图形还具有的其他性质（必须与点P相关），然后针对其中的一条予以证明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

① x-（2m-3)x+m-2m-4=0 由韦达定理可得AD+BC=2m-3 ADXBC=m-2m-4 (BC-AD)=(AD+BC)-4ADXBC=-4m+25 DC=m-4m+25 已知梯形ABCD的各边长均为整数 所以m为整数 根号（m-4m+25 ）和根号（-4m+25） 也要为整数 所以4≤m＜6 带 4和5 只有m等于4是成立 所以m=4 周长=14 ② 设AP为X 由△ADP与△BCP相似 可得 AD/AP=BO/BC 求得X等于2 所以P在AB中点 还可以得到∠DPC等于90° 由相似可得