Question

如图，圆C：x²-（1+a）x+y²-ay+a。

Answer 1

（Ⅰ）因为由

y＝0
x2−(1+a)x+y2−ay+a＝0

可得x2-（1+a）x+a=0，
由题意得△=（1+a）2-4a=（a-1）2=0，所以a=1，
故所求圆C的方程为x2-2x+y2-y+1=0．
（Ⅱ）令y=0，得x2-（1+a）x+a=0，即（x-1）（x-a）=0，求得x=1，或x=a，
所以M（1，0），N（a，0）．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入x2+y2=4得，（1+k2）x2-2k2x+k2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），从而x1+x2＝
2k2
1+k2
，x1x2＝
k2−4
1+k2
．
因为NA、NB的斜率之和为
y1
x1−a
+
y2
x2−a
＝
k[(x1−1)(x2−a)+(x2−1)(x1−a)]
(x1−a)(x2−a)
，
而（x1-1）（x2-a）+（x2-1）（x1-a）=2x1x2-（a+1）（x2+x1）+2a=2
k2−4
1+k2
−(a+1)
2k2
1+k2
+2a=
2a−8
1+k2
，
因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，
y1
x1−a
+
y2
x2−a
＝0，即
2a−8
1+k2
＝0，得a=4．
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．
综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．