Question

求曲线y=e^x及该曲线过原点的切线与y轴所围成的平面图形的面积和该平面绕x轴旋转所得的体积.

请问这道题如何做，这个图形怎么画？

Answer 1

解: 1.求切线方程: 设相切于(p,e^p),于是有切线方程:有y-e^p=e^p(x-p) 将原点代入有:-e^p=-pe^p,p=1 切线方程:y=ex 2.求所围面积: (1)曲线下面积:S1=∫[0,1]e^xdx=e^x|[0,1]=e-1 (2)三角形面积:S2=0.5×e×1^2=0.5e 所求面积:S=S1-S2=0.5e-1 3.旋转体体积: 曲线下面积所旋转形成体积: V1=∫[0,1]π(e^x)^2dx=(π/2)e^(2x)|[0,1]=(π/2)(e^2-1) 直线形成的圆锥体积: V2=∫[0,1]π(ex)^2dx=(πe^2x^3)/3|[0,1]=πe^2/3 旋转体体积: V=V1-V2=(π/2)(e^2-1)-πe^2/3=(π/6)e^2-(π/2)=(π/6)(e^2-3)