Question

求数学学霸

如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直BC于E，AF垂直CD于F，若角EAF等于60度，CF等于2厘米，CE等于3厘米，求平行四边形ABCD的周长和面积

Answer 1

∵AE⊥BC，AF⊥CD

∴∠AEC=∠AFC=90°

即∠AEC+∠AFC=180°

∴∠EAF+∠C=180°

那么∠C=180°-∠EAF=180°-60°=120°

∵ABCD是平行四边形

∴∠D=∠B=180°-∠C=180°-120°=60°

∴∠BAE=∠DAF=30°

那么直角三角形中：BE=1/2AB=BC-CE=BC-3，DF=1/2AD=CD-CF=CD-2

∴AB=2BC-6

  AD=2CD-4

∵AB=CD，AD=BC

∴AB+AD=2BC+2CD-10

AB+AD=2AD+2AB-10

AB+AD=10

∴平行四边形周长=2（AB+AD）=20

2、AE=√3/2AB，AF=√3/2AD  (勾股定理：上面：DF=1/2AD，BE=1/2AB)

∵∠B=∠D，∠AFD=∠AEB=90°

∴DF/BE=AD/AB

(CD-CF)/(BC-CE)=AD/AB

(AB-2)/(AD-3)=AD/AB

AD(AD-3)=AB(AB-2)

AD²-3AD=AB²-2AB

AD²-AB²=3AD-2AB

(AD+AB)(AD-AB)=3AD-2AB

10AD-10AB=3AD-2AB

7AD=8AB

AD=8/7AB

AB+AD=10

15/7AB=10

AB=14/5

AD=16/5

∵AE=√3/2AB，AF=√3/2AD  (勾股定理：上面：DF=1/2AD，BE=1/2AB)

∴AE=√3/2×14/5=7√3/5

AF=√3/2×16/5=8√3/5

∴S平行四边形ABCD

=1/2AE×BC+1/2AF×CD

=1/2×AE×AD+1/2×AF×AB

=1/2×7√3/5×16/5+1/2×8√3/5×14/5

=112√3/25

 

 

 

Answer 2

解：∵四边形AECF的四个内角和=360°
∴∠ECF=360°-∠AEC-∠AFC-∠EAF
=360°-90°-90°-60°
=120°
∵ABCD是平行四边形
∴∠B+∠ECF=180°， ∠D+∠ECF=180°
从而 ∠B=180°-∠ECF=180°-120°=60°
∠D=180°-∠ECF=180°-120°=60°
在直角三角形ABE中
AB=BE/cos∠B=2/cos60°=2/(1/2)=4(cm)
在直角三角形ADE中
AD=DF/cos∠B=3/cos60°=3/(1/2)=6(cm)
又 BC=AD
从而 BC=6(cm)
∴AB周长=2x(4+6)=20
AE=√AB²－BE²=2√3
ABCD面积=6×2√3=12√3cm²

追问

可以用初二的知识解答吗？没学余弦定理呢！

追答

∵CF=2，CE=3，若设BE=x

则AD=BC=x+3，CD=AB=2x，DF=(x+3)/2，CD=(x+3)/2+2

解2x=(x+3)/2+2 得x=7/3

∴AD=BC=7/3+3=16/3，CD=AB=2*7/3=14/3

∴平行四边形ABCD的周长是2(16/3+14/3)=20

∵在RtΔABE中，∠2=30度，BE=7/3

∴AE=7/3√3

∴平行四边形ABCD的面积为16/3*7/3√3=112/9 √3
（刚刚算错了）

追问

对了，我也明白了，谢谢

Answer 3

周长为20
面积为112/9倍根号3

追问

为啥？

哦，我算出来了，你做对了，thank you！

追答

为什么不采纳我的？？
啊
人生不如意十有八九