Question

如下图，用第二类换元法求不定积分

请问划红线部分怎么来的，第二行红线最后怎么莫名多出了3π来？？？求大神给予详细解答，感激涕零。。。。。。

Answer 1

追问

你是说y=arccos x的值在[0,π]上吧，我还有一点不懂，为什么这题要区分x>0和x<0两种情况？函数的定义域难道不是(－∞, －3] U [3, +∞)吗？？对于第二类换元积分法令X=ψ(t)，这个t的取值我很是头疼。。。
另外，你说这种方法很笨拙是指什么？请老师不吝赐教，多谢！！

追答

这里要区分x>0和x0的j积分结果计算x<0的积分，不必再换元重新计算。另外，你题解里对结果的归纳处理上技巧不足。

追问

嗯，你说的很有道理！！
那为什么不按照被积函数的定义域分x>=-3和x=<3两种情况呢？你说“x要如何区分开取值主要看被积函数在换元前后的运算结果是否有差异。”这句话我不是很懂，求老师再详细解释下，多谢啦！

追答

就是这个意思啦。

追问

老师，为什么书上要区分x>a和x<a两种情况，而不是你说的x>0和x<0?请看教材中的例题

不要嫌我烦哈，刚开始学就是想搞清这个问题。。。拜谢！！！

追答

没有差别的，因为x>0时，你做换元之后x=asect>a，其中，0<t<π/2。x<0时的换元也是一样的，这里计算中更关注的是根式运算后结果的表示。

Answer 2