Question

二次函数问题

抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的顶点为c(1,4)，交X轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3,0）
（1）求抛物线解析式【已解出为y=-x^2+2x+3】
（2）过A点的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。（- -!!肯定存在...）

Answer 1

呵呵，麻烦把图中DG连一下。

Answer 2

解：(1)。y=a(x-1)²+4；将x=3，y=0代入得4a+4=0，故得a=-1，∴解析式为y=-(x-1)²+4=-x²+2x+3；
(2)。令-x²+2x+3=-(x²-2x-3)=-(x-3)(x+1)=0，得x₁=-1，x₂=3，故A(-1，0)；B(3，0)；
令抛物线方程中的x=2，得y=-4+4+3=3，故E点的坐标为(2，3)；那么AE所在直线的斜率k=1；
故AE所在直线的方程为y=x+1；令x=0，得y=1，即F点的坐标为(0，1)；D点的坐标为(0，3)；
取AE与对称轴PQ的交点为G(1，2)，PQ与x轴的交点为H(1，0)，连接DG，FH，则四边形DGHF的周长最小，最小值=∣DG∣+∣GH∣+∣HF∣+∣FD∣=(√2)+2+(√2)+2=4+2√2.