Question

已知F1F2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 角F1PF2=60 ° （1）椭圆离心率的取值范围

（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关

Answer 1

1）
PF1^2+PF2^2-2PF1PF2cos60=F1F2^2
PF1^2+PF2^2-PF1PF2=4c^2
(PF1+PF2)^2-3PF1PF2=4c^2
PF1PF2=(4a^2-4c^2)/3
而：PF1PF2≤[(PF1+PF2)/2]^2=a^2
所以，4a^2-4c^2≤a^2
3a^2≤4c^2
e^2=c^2/a^2≥3/4
e≥√3/2
所以，椭圆离心率的范围：√3/2≤e<1

2)
由1)知,PF1*PF2=(4a^2-4c^2)/3=4b^2/3
所以，
三角形F1pF2的面积
=PF1*PF2*sin60*1/2
=√3b^2/3
只与椭圆的短轴长有关

追问

第一题答案是闭区间1/2到开区间1 呀

追答

解：设P点坐标为(x,y), 则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex 则在△F1PF2中 cos60°=1/2=(|PF1|²+|PF2|²-4c²)/(2|PF1|*|PF2|) 解得x²=(4c²-a²)/3e² ∵x∈(-a,a), x²∈[0,a²) (4c^2-a²)/3e²∈[0,a²) 由此解得e≥1/2 又∵e∈(0,1) ∴e∈[1/2,1)

追问

|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex 是怎么来的？？？ ps：数学学渣。。。。

数学学渣伤不起阿

还有就是为什么面积=√3b^2/3 就与椭圆的短轴长有关了呢

追答

记长半轴为b，短半轴为a

设P点坐标为(x,y), 则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex，是P点到F1，F2的距离
三角形F1pF2的面积

=PF1*PF2*sin60*1/2
=√3b^2/3
只有与b有关

追问

谢谢！！！！万分感谢！！！真棒

追答

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