Question

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Answer 1

（1）
∵b(n)＝a(n)/2^（n－1），a(n＋1)＝2a(n）＋2^n
∴b(n＋1)＝a(n＋1)/2^n＝［2a(n）＋2^n］/2^n＝2a(n)/2^n＋1＝a(n)/2^（n－1）＋1＝b(n)＋1。
∴｛b(n)｝是以1为公差的等差数列。

（2）
∵a(1)＝1，∴b(1)＝a(1)/2^（1－1）＝1，∴b(n)＝1＋（n－1）×1＝n，∴a(n)/2^（n－1）＝n，
∴a(n)＝n×2^（n－1）。

（3）
依次令a(n)＝n×2^（n－1）中的n为1、2、3、······、n，得：
a(1)＝1，
a(2)＝2×2，
a(3)＝3×2^2，
······
a(n)＝n×2^（n－1）。
将上述n的式子相加，得：
a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)＝1＋2×2＋3×2^2＋······＋n×2^（n－1），
∴2［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］＝2＋2×2^2＋3×2^3＋······＋（n－1）×2^（n－1）＋n×2^n，
∴［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］－2［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］
＝1＋2＋2^2＋2^3＋2^4＋······＋2^（n－1）－n×2^n
＝1＋2［1－2^（n－1）］/（1－2）－n×2^n
＝1－2［1－2^（n－1）］－n×2^n
＝－1＋2^n－n×2^n
＝－1－（n－1）×2^n，
∴a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)＝1＋（n－1）×2^n。