Question

x1,x2都大于1时且x1不等于x2，证明|InX1-InX2|小于|X1-X2|

x1,x2都大于1时且x1不等于x2，证明|InX1-InX2|小于|X1-X2|

请不要用导数的方法
谢谢

Answer 1

不妨设x1>x2>1
那么|InX1-InX2|=lnx1-lnx2
|X1-X2| =x1-x2
等价于证明
lnx1-lnx2<x1-x2
等价于证明
lnx1-x1<lnx2-x2
等价于证明
y=lnx-x为减函数
y'=(1/x)-1 <0 当(x>1)
不用导数，初等方法不会。

Answer 2

不妨令1<x1<x2
显然lnx1<lnx2 x1<x2
故|lnx1-lnx2|=lnx2-lnx1
|x1-x2|=x2-x1
故|lnx1-lnx2|-|x1-x2|
=lnx2-lnx1-(x2-x1)
=ln(x2/x1)-lne^(x2-x1)
=ln[(x2e^x1)/(x1e^x2)]
这道题完全不用导数恐怕有点困难