Question

已知函数f（x）=x2-2ax+5 若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2

∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围

Answer 1

解：函数f（x）=x2-2ax+5的对称轴是x=a，则其单调减区间为（-∞，a]，
因为f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．
则|a-1|≥|（a+1）-a|=1，
因此任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，

只需|f（a）-f（1）|≤4即可， 这步看不懂求解释

即|（a2-2a2+5）-（1-2a+5）|=|a2-2a+1|=（a-1）2≤4，亦即-2≤a-1≤2，
解得-1≤a≤3，又a≥2，
因此a∈[2，3]．

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追问

|a-1|≥|（a+1）-a|=1，这步是怎么得出来的?
只需|f（a）-f（1）|≤4即可 这步没明白= =
求解答

追答

∵x∈[1,a+1] a∈[1,a+1]
∴x=a时，f(x)min=5-a²
f(x)最大值在f(1)和f(a+1)中产生
x=1,x=a+1那个距x=a远，
f(x)在那一边取得最大值
∵a≥2
∴a-1≥1，而a+1-a=1
∴1距离a 更远
∴f(x)max=f(1)

任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，
只需f(x)max-f(x)min≤4即可
∴6-2a-(5-a²)≤4
a²-2a-3≤0