Question

求大神指点！必采纳！

Answer 1

（1）
∵3［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］＝（n＋2）a(n)，∴3［a(1)＋a(2)］＝（2＋2）a(2)，
∴3a(1)＋3a(2)＝4a(2)，∴a(2)＝3a(1)，而a(1)＝1，∴a(2)＝3。

（2）
∵3［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］＝（n＋2）a(n)，
∴3［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)＋a(n＋1)］＝［（n＋1）＋2］a(n＋1)，
∴3［a(1)＋a(2)＋a(3)＋······＋a(n)］＋3a(n＋1)＝（n＋3）a(n＋1)，
∴（n＋2）a(n)＝na(n＋1)，
∴a(n＋1)＝［（n＋2）/n］a(n)。

在上式中，依次令n＝1、2、3、4、5、······、n－1，依次可得：
a(2)＝［（1＋2）/1］a(1)＝3/1，
a(3)＝［（2＋2）/2］a(2)＝（4/2）×（3/1），
a(4)＝［（3＋2）/3］a(3)＝（5/3）×（4/2）×（3/1），
a(5)＝［（4＋2）/4］a(4)＝（6/4）×（5/3）×（4/2）×（3/1），
······，
a(n)
＝［（n＋1）/（n－1）］a(n－2)
＝［（n＋1）/（n－1）］［n/（n－2）］······（5/3）×（4/2）×（3/1），
＝（n＋1）n/（2×1）
＝（1/2）n（n＋1）。
∴a(n)＝（1/2）n（n＋1）。

（3）
b(n)
＝2/［（n＋2）a(n)］
＝2/［n（n＋1）（n＋2）］
＝［（n＋2）－n］/［n（n＋1）（n＋2）］
＝1/［n（n＋1）］－1/［（n＋1）（n＋2）］。

在上式中，依次令n＝1、2、3、4、······、n，依次可得：
b(1)＝1/（1×2）－1/（2×3），
b(2)＝1/（2×3）－1/（3×4），
b(3)＝1/（3×4）－1/（4×5），
b(4)＝1/（4×5）－1/（5×6），
······，
b(n)＝1/［n（n＋1）］－1/［（n＋1）（n＋2）］。

将上述n个式子左右分别相加，得：T(n)＝1/2－1/［（n＋1）（n＋2）］。